Matemática discreta Ejemplos

$\frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81) = \log_{5} (3 x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\log_{5} (3 x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81)$ .

$\log_{5} (3 x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{5} (81)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{5} (81)$ .

$\log_{5} (3 x) = \frac{\log_{5} (81)}{2}$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{5} (3 x) - \frac{\log_{5} (81)}{2} = 0$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Reescribe $\log_{5} (81)$ como $\log_{5} (3^{4})$ .

$\log_{5} (3 x) - \frac{\log_{5} (3^{4})}{2} = 0$

Paso 4.2

Expande $\log_{5} (3^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$\log_{5} (3 x) - \frac{4 \log_{5} (3)}{2} = 0$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $4 \log_{5} (3)$ .

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2} = 0$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2 (1)} = 0$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 (2 \log_{5} (3))}{2 \cdot 1} = 0$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (3 x) - \frac{2 \log_{5} (3)}{1} = 0$

Paso 4.3.2.4

Divide $2 \log_{5} (3)$ por $1$ .

$\log_{5} (3 x) - (2 \log_{5} (3)) = 0$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\log_{5} (3 x) - 2 \log_{5} (3) = 0$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Simplifica $\log_{5} (3 x) - 2 \log_{5} (3)$ .

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Simplifica $- 2 \log_{5} (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log_{5} (3 x) - \log_{5} (3^{2}) = 0$

Paso 5.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\log_{5} (3 x) - \log_{5} (9) = 0$

Paso 5.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{3 x}{9}) = 0$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 5.1.3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\log_{5} (\frac{3 (x)}{9}) = 0$

Paso 5.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\log_{5} (\frac{3 x}{3 \cdot 3}) = 0$

Paso 5.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{5} (\frac{3 x}{3 \cdot 3}) = 0$

Paso 5.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{5} (\frac{x}{3}) = 0$

Paso 6

Reescribe $\log_{5} (\frac{x}{3}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{x}{3}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x}{3} = 5^{0}$ .

$\frac{x}{3} = 5^{0}$

Paso 7.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \cdot 5^{0}$

Paso 7.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{x}{3} = 3 \cdot 5^{0}$

Paso 7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 3 \cdot 5^{0}$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.1

Simplifica $3 \cdot 5^{0}$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x = 3 \cdot 1$

Paso 7.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$x = 3$